Guía resumen de matemáticas aplicadas a la logística

Las matemáticas constituyen una herramienta fundamental en el ámbito de la logística moderna. En un sector donde la optimización de recursos, tiempos y costes resulta esencial, los modelos matemáticos proporcionan el soporte necesario para la toma de decisiones estratégicas y operativas. Esta guía pretende dotar de las competencias matemáticas necesarias para afrontar los retos que plantea la gestión eficiente de la cadena de suministro.

A lo largo de la guía, se abordarán desde los conceptos preliminares hasta técnicas avanzadas de optimización multivariable, pasando por el cálculo diferencial y el álgebra lineal. Cada bloque temático se enfoca no solo en el desarrollo teórico, sino también en su aplicación práctica mediante ejemplos y casos específicos del entorno logístico. Así se podrá comprender cómo los fundamentos matemáticos sustentan decisiones cruciales como la ubicación óptima de centros de distribución, el dimensionamiento de flotas de transporte, la gestión eficiente de inventarios o el análisis de tiempos de espera en sistemas de colas.

La guía sigue una progresión lógica que permite construir el conocimiento de forma estructurada, comenzando con herramientas básicas que servirán de cimiento para técnicas más complejas. El objetivo final es poder modelizar matemáticamente problemas logísticos reales y aplicar las metodologías adecuadas para su resolución, contribuyendo así a la mejora continua de los procesos logísticos en un entorno empresarial cada vez más competitivo y tecnológicamente avanzado.

Preliminares

Los conjuntos de números

  • Números naturales (ℕ): Utilizados para contar elementos discretos en inventarios y para ordenar productos.
  • Números enteros (ℤ): Aplicados en balances de stock, donde pueden existir valores negativos (faltantes).
  • Números racionales (ℚ): Empleados en cálculos de proporciones, porcentajes y ratios logísticos.
  • Números reales (ℝ): Base para mediciones continuas como distancias, pesos y tiempos.
  • Intervalos: Cerrados [a,b], abiertos (a,b), semiabiertos [a,b) o (a,b]. Utilizados para definir rangos de tolerancia en procesos logísticos.

Resolución de ecuaciones e inecuaciones

  • Ecuaciones lineales: ax + b = 0
  • Ecuaciones cuadráticas: ax² + bx + c = 0. Fórmula general: x = (-b ± √(b² – 4ac))/2a
  • Sistemas de ecuaciones: Métodos de resolución (sustitución, igualación, reducción)
  • Inecuaciones lineales: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0
  • Inecuaciones no lineales: Resolución mediante estudio de signos
  • Sistemas de inecuaciones: Representación gráfica e interpretación en contextos logísticos

Funciones reales de una variable real

Definición, tipos y propiedades

  • Definición formal: f: A → B, donde A, B ⊂ ℝ
  • Tipos de funciones:
    • Inyectivas: f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂
    • Sobreyectivas: ∀y ∈ B, ∃x ∈ A / f(x) = y
    • Biyectivas: Inyectivas y sobreyectivas simultáneamente
  • Propiedades:
    • Paridad: funciones pares f(-x) = f(x), impares f(-x) = -f(x)
    • Periodicidad: f(x + T) = f(x)
    • Monotonía: crecientes, decrecientes, constantes
    • Acotación: superiormente, inferiormente, acotadas

Expresiones de una función: forma explícita y forma implícita

  • Forma explícita: y = f(x)
  • Forma implícita: F(x,y) = 0

Gráfica de una función

  • Definición: Conjunto de puntos (x, f(x)) para todo x en el dominio
  • Interpretación geométrica
  • Aplicaciones en modelado logístico: Representación de costes, tiempos de entrega, etc.

Distancia entre dos puntos

  • En el plano: d(P₁, P₂) = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
  • Aplicaciones en rutas logísticas y disposición de almacenes

Dominio y Recorrido de una función

  • Dominio: Conjunto de valores x para los que la función está definida
  • Recorrido: Conjunto de valores y que la función puede tomar
  • Cálculo del dominio según el tipo de función:
    • Racionales: denominador ≠ 0
    • Con radicales: radicando ≥ 0 si el índice es par
    • Logarítmicas: argumento > 0

Operaciones con funciones

  • Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • Producto por un escalar: (λf)(x) = λ·f(x)
  • Producto: (f·g)(x) = f(x)·g(x)
  • Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0

Composición. Propiedades

  • Definición: (f∘g)(x) = f(g(x))
  • Propiedades:
    • No conmutativa: f∘g ≠ g∘f en general
    • Asociativa: f∘(g∘h) = (f∘g)∘h
    • Elemento neutro: f∘Id = Id∘f = f

Función identidad y función inversa

  • Función identidad: Id(x) = x
  • Función inversa: f⁻¹(y) = x ⟺ f(x) = y
  • Condición de existencia: f debe ser biyectiva
  • Propiedades: f⁻¹∘f = Id, f∘f⁻¹ = Id

Estudio de algunas funciones elementales

  • Polinómicas: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
  • Racionales: f(x) = P(x)/Q(x), siendo P y Q polinomios
  • Con radicales: f(x) = ⁿ√g(x)
  • Exponenciales: f(x) = aˣ, a > 0, a ≠ 1
  • Logarítmicas: f(x) = log_a(x), a > 0, a ≠ 1

Cálculo diferencial con funciones de una variable

El cálculo diferencial, con su enfoque en el estudio de los cambios y las tasas de variación, ofrece soluciones precisas para problemas cotidianos en el transporte marítimo. Desde la optimización de rutas de navegación hasta la determinación del tamaño óptimo de contenedores para maximizar el espacio disponible, pasando por el análisis de costos operativos y la previsión de tiempos de entrega.

El cálculo diferencial permite analizar cómo pequeños cambios en variables como el tiempo, el combustible o la capacidad de carga afectan a los costos globales y la rentabilidad. Por ejemplo, la derivada de una función de costos respecto al tiempo puede ayudar a determinar la velocidad óptima de navegación que minimiza el consumo de combustible sin comprometer los plazos de entrega. Además, conceptos como extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión tienen aplicaciones directas en la planificación logística, permitiendo identificar puntos críticos en las operaciones donde pequeños ajustes pueden generar grandes beneficios o evitar pérdidas significativas.

Esta introducción al cálculo diferencial explorará sus fundamentos y aplicaciones específicas en el ámbito del transporte marítimo internacional, demostrando cómo estas herramientas matemáticas no son meros ejercicios teóricos, sino instrumentos prácticos esenciales para la toma de decisiones estratégicas en una industria global altamente competitiva.

Derivada de una función en un punto

  • Definición: f'(a) = lim_(h→0) (f(a+h) – f(a))/h
  • Interpretación geométrica: Pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (a, f(a))
  • Aplicaciones en logística: Tasas de cambio en costes, velocidades, etc.

Puntos angulosos

  • Definición: Puntos donde no existe derivada
  • Identificación gráfica
  • Ejemplos en funciones logísticas: Cambios de tarifa, umbrales de almacenamiento

Teorema de la derivada y la continuidad

  • Enunciado: Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a
  • Contraposición: Si f es discontinua en x = a, entonces f no es derivable en x = a

Función derivada

  • Definición: f'(x) para todo x en el dominio donde existe la derivada
  • Notaciones: f'(x), df/dx, Df(x)

Función derivada de las funciones elementales

  • Funciones constantes: (k)’ = 0
  • Función identidad: (x)’ = 1
  • Funciones potenciales: (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹
  • Funciones exponenciales: (eˣ)’ = eˣ, (aˣ)’ = aˣ·ln(a)
  • Funciones logarítmicas: (ln x)’ = 1/x, (log_a x)’ = 1/(x·ln a)
  • Funciones trigonométricas: (sin x)’ = cos x, (cos x)’ = -sin x, etc.

Derivada de las operaciones

  • Suma: (f + g)’ = f’ + g’
  • Producto por escalar: (λf)’ = λf’
  • Producto: (f·g)’ = f’·g + f·g’
  • Cociente: (f/g)’ = (f’·g – f·g’)/g²

Derivada de la composición: Regla de la cadena

  • Fórmula: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)
  • Aplicaciones en cadenas de suministro: Análisis de procesos compuestos

Derivadas sucesivas

  • Segunda derivada: f”(x) = (f'(x))’
  • n-ésima derivada: f^(n)(x)
  • Notaciones: f”(x), f^(n)(x), d²f/dx², d^n f/dx^n

Aplicaciones de la derivada

Cálculo de la recta tangente en un punto

  • Ecuación: y – f(a) = f'(a)(x – a)
  • Interpretación en problemas logísticos: Tasas instantáneas

Límites

  • Definición: lim_(x→a) f(x) = L
  • Límites laterales: lim_(x→a⁺) f(x), lim_(x→a⁻) f(x)
  • Límites infinitos: lim_(x→a) f(x) = ±∞ (asíntotas verticales)
  • Límites al infinito: lim_(x→±∞) f(x) (asíntotas horizontales)
  • Representación gráfica de los límites
  • Regla de L’Hôpital: Si lim_(x→a) f(x)/g(x) presenta una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞, entonces lim_(x→a) f(x)/g(x) = lim_(x→a) f'(x)/g'(x), siempre que este último límite exista
  • Cálculo de límites: Técnicas para resolver indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, 1^∞, etc.

Continuidad

  • Definición: f es continua en x = a si lim_(x→a) f(x) = f(a)
  • Definiciones equivalentes
  • Tipos de discontinuidad:
    • Evitable: Cuando existe lim_(x→a) f(x) ≠ f(a) o no existe f(a)
    • De salto: Cuando los límites laterales existen pero son distintos
    • Asintótica: Cuando al menos uno de los límites laterales es infinito
  • Problemas de continuidad: Identificación y clasificación
  • Cálculo de asíntotas de una función:
    • Horizontales: lim_(x→±∞) f(x) = L
    • Verticales: lim_(x→a) f(x) = ±∞
    • Oblicuas: lim_(x→±∞) [f(x) – (mx + n)] = 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

  • Criterio de la primera derivada:
    • Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en ese intervalo
    • Si f'(x) < 0 en un intervalo, f es decreciente en ese intervalo
    • Si f'(x) = 0 en un intervalo, f es constante en ese intervalo

Cálculo de extremos (máximos y mínimos)

  • Definición de máximo y mínimo:
    • Máximo relativo: f(a) ≥ f(x) para todo x en un entorno de a
    • Mínimo relativo: f(a) ≤ f(x) para todo x en un entorno de a
  • Teorema de la derivada nula: Si f es derivable en x = a y f tiene un extremo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0
  • Criterios para la determinación de extremos:
    • Condición necesaria: f'(a) = 0 o f'(a) no existe
    • Criterio de la primera derivada: Estudio del signo de f’ en torno a los puntos críticos
    • Criterio de la segunda derivada: Si f'(a) = 0, f”(a) < 0 ⟹ máximo, f”(a) > 0 ⟹ mínimo

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

  • Concavidad y convexidad:
    • Si f”(x) > 0 en un intervalo, f es convexa en ese intervalo
    • Si f”(x) < 0 en un intervalo, f es cóncava en ese intervalo
  • Puntos de inflexión: Puntos donde cambia la concavidad
  • Teorema de la 2ª derivada: Los puntos de inflexión se encuentran entre los puntos donde f”(x) = 0 o f”(x) no existe

Análisis de una función

  • Metodología completa:
    1. Dominio
    2. Simetrías y periodicidad
    3. Cortes con los ejes
    4. Asíntotas
    5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
    6. Extremos relativos
    7. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
    8. Representación gráfica

Optimización. Máximos y mínimos con aplicaciones a la economía

  • Planteamiento de problemas de optimización en logística:
    • Minimización de costes
    • Maximización de beneficios
    • Optimización de rutas
    • Dimensionamiento óptimo de almacenes
    • Tamaño óptimo de lote (EOQ – Economic Order Quantity)
  • Método de resolución:
    1. Identificar la función objetivo
    2. Establecer restricciones
    3. Expresar la función objetivo en términos de una sola variable
    4. Calcular la derivada e igualar a cero
    5. Comprobar que se trata de un máximo o mínimo
    6. Interpretar el resultado en el contexto del problema

Introducción a la teoría de colas

La teoría de colas constituye un pilar fundamental en la gestión eficiente del transporte marítimo internacional, donde los puertos, las terminales y los centros logísticos funcionan como sistemas de colas complejos. Esta rama matemática proporciona modelos para analizar y optimizar los tiempos de espera, los recursos necesarios y el flujo de operaciones en toda la cadena logística marítima.

En el contexto del comercio marítimo global, la aplicación de la teoría de colas permite predecir y gestionar situaciones críticas como la congestión portuaria, los tiempos de atraque de buques y la asignación óptima de recursos.

  • La notación de Kendall (A/B/C/D/E/F) proporciona un sistema estandarizado para clasificar los diferentes modelos de colas. En el entorno portuario, podríamos encontrar sistemas M/M/C donde múltiples grúas (servidores) atienden a buques que llegan según un proceso de Poisson. El factor de utilización (ρ = λ/μ) resulta crucial para evaluar la eficiencia operativa de un terminal: valores cercanos a 1 indican alta utilización de recursos pero también mayores tiempos de espera.
  • Las fórmulas principales de la teoría de colas permiten a los operadores logísticos calcular métricas esenciales como el número promedio de buques en espera (Lq), el tiempo medio de atraque (Ws) o la longitud media de la cola de embarcaciones esperando para descargar (Lq). Estos cálculos resultan determinantes para decisiones estratégicas como la ampliación de instalaciones portuarias o la inversión en equipamiento adicional.
  • Por ejemplo, utilizando el modelo M/M/1, un operador portuario puede determinar que aumentar la tasa de servicio μ (mediante la adquisición de grúas más rápidas) reducirá exponencialmente el tiempo de espera para los buques. Esta reducción no solo mejora la satisfacción de los clientes sino que también optimiza la utilización de los recursos y aumenta la capacidad global del sistema.

En el competitivo mundo del transporte marítimo internacional, donde cada hora de retraso tiene implicaciones económicas significativas, la teoría de colas proporciona herramientas matemáticas esenciales para la planificación estratégica, la asignación eficiente de recursos y la toma de decisiones basada en datos, garantizando operaciones fluidas a lo largo de toda la cadena logística global.

  • Notación de Kendall: A/B/C/D/E/F
    • A: Distribución de llegadas
    • B: Distribución de servicio
    • C: Número de servidores
    • D: Capacidad del sistema
    • E: Tamaño de la población
    • F: Disciplina de la cola
  • Modelo M/M/1: Cola con llegadas según proceso de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y un único servidor
  • Parámetros principales:
    • λ: Tasa media de llegadas
    • μ: Tasa media de servicio
    • ρ = λ/μ: Factor de utilización (debe ser < 1 para estabilidad)
  • Fórmulas principales:
    • L_q: Longitud media de la cola = ρ²/(1-ρ)
    • L_s: Número medio de clientes en el sistema = ρ/(1-ρ)
    • W_q: Tiempo medio de espera en la cola = ρ/(μ(1-ρ))
    • W_s: Tiempo medio de permanencia en el sistema = 1/(μ(1-ρ))
  • Aplicaciones en logística:
    • Gestión de muelles de carga y descarga
    • Planificación de personal en centros de distribución
    • Optimización de procesos de picking
    • Análisis de tiempos de espera en transportes

Álgebra lineal

El álgebra lineal proporciona un marco matemático esencial para modelar y resolver los complejos problemas de planificación y optimización que enfrenta la industria del transporte marítimo internacional. En un sector donde la eficiencia operativa es crucial para mantener la competitividad, estas herramientas matemáticas permiten analizar sistemas multivariables y tomar decisiones estratégicas basadas en datos.

  • Las matrices son utilizadas para representar redes de transporte, donde cada elemento puede indicar costos, tiempos o capacidades entre diferentes puertos. Por ejemplo, una matriz de adyacencia puede describir las conexiones entre puertos internacionales, mientras que una matriz de costos puede representar los gastos asociados a cada ruta.
  • El producto matricial resulta particularmente útil para calcular costos totales en rutas con múltiples escalas. Si A representa los costos de transporte entre puertos y B los costos de manipulación en cada puerto, entonces AB puede proporcionar información valiosa sobre el costo total de diferentes opciones logísticas.
  • Los determinantes y las matrices inversas tienen aplicaciones directas en el análisis de sistemas de ecuaciones que modelan restricciones operativas. Por ejemplo, al planificar la distribución óptima de contenedores en diferentes rutas, se pueden plantear sistemas de ecuaciones lineales donde las variables representan cantidades de carga y las ecuaciones expresan restricciones de capacidad, demanda y equilibrio.
  • Las matrices de transición, por su parte, son fundamentales para modelar cadenas de Markov que describen el movimiento de mercancías entre diferentes ubicaciones. En el contexto del transporte marítimo, estas matrices pueden utilizarse para analizar patrones de flujo de contenedores entre puertos, predecir la congestión portuaria o planificar la reposición de unidades vacías.
  • El teorema de Rouché-Fröbenius permite determinar si un plan logístico específico es viable, verificando la compatibilidad de los sistemas de ecuaciones que representan las restricciones operativas. El método de Gauss, por otro lado, ofrece un procedimiento sistemático para encontrar soluciones óptimas a problemas de asignación de recursos.
  • En la gestión de flotas y planificación de rutas, el álgebra lineal permite formulaciones matemáticas que optimizan decisiones complejas como la asignación de buques a rutas específicas, minimizando costos operativos mientras se cumplen los compromisos de entrega.

A medida que el transporte marítimo internacional avanza hacia operaciones más integradas y basadas en datos, el álgebra lineal continúa siendo una herramienta indispensable para analizar, optimizar y transformar las cadenas logísticas globales, permitiendo decisiones más inteligentes y operaciones más eficientes en un mercado altamente competitivo.

Matrices

  • Definición de matriz: Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas
  • Orden de una matriz: Número de filas × número de columnas (m×n)
  • Matrices cuadradas: Número de filas = número de columnas
  • Transpuesta de una matriz: A^T se obtiene cambiando filas por columnas
  • Matrices simétricas: A = A^T
  • Operaciones con matrices:
    • Suma: (A + B){ij} = A{ij} + B_{ij}
    • Producto por un escalar: (λA){ij} = λA{ij}
    • Producto de matrices: (AB){ij} = Σ_k A{ik}B_{kj}
    • Propiedades:
      • Asociativa: (AB)C = A(BC)
      • Distributiva: A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC
      • No conmutativa: AB ≠ BA en general
  • Matriz Identidad: I, matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto
  • Matriz Inversa: A^(-1), cumple AA^(-1) = A^(-1)A = I
    • Condición: A debe ser cuadrada y det(A) ≠ 0

Determinantes

  • Definición: Número asociado a una matriz cuadrada
  • Determinantes de orden 2: |A| = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}
  • Determinantes de orden 3: Regla mnemotécnica de Sarrus
  • Adjuntos y menores complementarios:
    • Menor complementario M_{ij}: Determinante que resulta de eliminar la fila i y la columna j
    • Adjunto A_{ij} = (-1)^(i+j)M_{ij}
  • Propiedades de los determinantes:
    • El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original
    • Si se intercambian dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo
    • Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras, el determinante es cero
    • Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante queda multiplicado por dicho escalar
    • det(AB) = det(A)·det(B)
  • Desarrollo de determinantes aplicando sus propiedades
  • Aplicaciones de los determinantes:
    • Cálculo de la matriz inversa: (A^(-1)){ij} = A{ji}/det(A)
    • Resolución de ecuaciones matriciales
    • Cálculo del rango de una matriz

Sistemas de ecuaciones lineales

  • Definición: Conjunto de ecuaciones lineales con varias incógnitas
  • Sistemas equivalentes: Tienen el mismo conjunto de soluciones
  • Sistemas homogéneos: Todos los términos independientes son cero
  • Matrices asociadas a un sistema:
    • Matriz de coeficientes: A
    • Matriz ampliada: (A|b)
  • Expresión matricial de un sistema: Ax = b
  • Tipos de sistemas según sus soluciones:
    • Compatibles determinados: Una única solución
    • Compatibles indeterminados: Infinitas soluciones
    • Incompatibles: Sin solución
  • Teorema de Rouché-Fröbenius:
    • Un sistema es compatible si y solo si rango(A) = rango(A|b)
    • Si además rango(A) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado
  • Aplicación: discusión de sistemas
  • Resolución de sistemas compatibles:
    • Regla de Cramer (para sistemas compatibles determinados): x_i = det(A_i)/det(A), donde A_i es la matriz que resulta de sustituir la columna i por el vector de términos independientes
    • Método de Gauss:
      1. Escalonar la matriz ampliada mediante operaciones elementales
      2. Resolver por sustitución regresiva

Matrices de transición

  • Definición: Matrices que representan cambios de estado en sistemas dinámicos
  • Propiedades: Elementos no negativos, suma de cada fila igual a 1
  • Aplicaciones en logística:

Funciones reales de dos o más variables

En el complejo entramado del transporte marítimo internacional, la toma de decisiones eficientes requiere analizar simultáneamente múltiples factores interrelacionados. Las funciones reales de dos o más variables proporcionan el marco matemático ideal para modelar estas situaciones, permitiendo a empresas optimizar sus operaciones en un entorno multidimensional.

En el contexto del comercio marítimo global, una función de varias variables puede representar, por ejemplo, el costo total de una operación logística f(x,y,z) donde x podría ser el volumen de carga, y el tiempo de tránsito y z la distancia recorrida. La visualización mediante curvas de nivel permite a los operadores logísticos identificar combinaciones de factores que mantienen costos constantes, facilitando la comparación entre diferentes alternativas operativas.

  • Las derivadas parciales son herramientas fundamentales para el análisis de sensibilidad en logística marítima. Por ejemplo, ∂f/∂x representaría cómo varía el costo al aumentar el volumen de carga mientras se mantienen constantes el tiempo y la distancia. Esta información resulta crucial para determinar el impacto de pequeños cambios en las variables operativas y para la negociación de tarifas con clientes.
  • La interpretación geométrica de las derivadas parciales tiene aplicaciones directas en la planificación logística. La pendiente de una superficie de costos en una dirección específica puede indicar, por ejemplo, si es más conveniente aumentar el volumen de carga o reducir el tiempo de tránsito para optimizar la operación.
  • En cuanto a la optimización, el análisis de extremos de funciones multivariables permite identificar configuraciones óptimas en escenarios complejos. Por ejemplo, al determinar la ubicación ideal para un centro de distribución, se buscaría minimizar una función de costos f(x,y) donde (x,y) representa las coordenadas geográficas. Las condiciones necesarias (∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0) y la matriz Hessiana proporcionan un método sistemático para encontrar esta ubicación óptima.
  • Los puntos de silla, donde det(H) < 0, representan situaciones críticas en la cadena logística donde pequeños cambios en ciertas direcciones mejoran el resultado mientras que cambios en otras direcciones lo empeoran. Identificar estos puntos es crucial para entender la estabilidad de las soluciones propuestas.
  • En aplicaciones prácticas como la gestión de flotas marítimas, estas técnicas permiten determinar la combinación óptima de velocidad de navegación y ruta para minimizar el consumo de combustible mientras se cumplen los plazos de entrega. La matriz Hessiana proporciona además información sobre la robustez de la solución ante pequeñas perturbaciones en las condiciones operativas.

El cálculo multivariable se convierte así en una herramienta indispensable para la toma de decisiones estratégicas en el transporte marítimo internacional, permitiendo a las empresas navegar eficientemente en el océano de datos y variables que caracteriza al comercio global contemporáneo.

Funciones reales de dos o más variables reales

  • Definición: f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ, donde n ≥ 2
  • Representación gráfica: Superficies en el espacio (para n=2)
  • Curvas de nivel: Conjuntos de puntos donde f(x,y) = c (constante)
  • Dominio de funciones de dos variables: Conjunto de puntos (x,y) donde la función está definida

Cálculo diferencial de funciones de dos o más variables

  • Derivadas parciales de una función:
    • ∂f/∂x: Derivada respecto a x manteniendo y constante
    • ∂f/∂y: Derivada respecto a y manteniendo x constante
  • Derivadas parciales sucesivas:
    • ∂²f/∂x², ∂²f/∂y², ∂²f/∂x∂y, ∂²f/∂y∂x
  • Teorema de Clairaut: Si las derivadas cruzadas son continuas, entonces ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
  • Interpretación geométrica y aplicaciones logísticas:
    • Tasas de cambio direccionales
    • Análisis de sensibilidad en modelos de costes
    • Modelos de transporte y distribución

Optimización con funciones de dos o más variables

Optimización local

  • Extremos de funciones de dos variables
  • Definición:
    • Máximos: Puntos donde f(x,y) ≥ f(x+h,y+k) para todo (h,k) suficientemente pequeño
    • Mínimos: Puntos donde f(x,y) ≤ f(x+h,y+k) para todo (h,k) suficientemente pequeño
    • Puntos de silla: Ni máximos ni mínimos, pero con derivadas parciales nulas
  • Determinación de extremos. Condición necesaria:
    • ∂f/∂x = 0 y ∂f/∂y = 0
  • Puntos singulares: Puntos donde se anulan las derivadas parciales primeras
  • Matriz Hessiana:
    • H = [∂²f/∂x² ∂²f/∂x∂y; ∂²f/∂y∂x ∂²f/∂y²]
  • Determinación de extremos. Condición suficiente:
    • Si det(H) > 0 y ∂²f/∂x² > 0, entonces mínimo
    • Si det(H) > 0 y ∂²f/∂x² < 0, entonces máximo
    • Si det(H) < 0, entonces punto de silla
    • Si det(H) = 0, el test no es concluyente
  • Aplicaciones en logística:
    • Optimización de costes multivariable
    • Localización óptima de instalaciones
    • Planificación de rutas multiobjetivo
    • Gestión de inventarios con múltiples productos
    • Problemas de asignación y distribución

Bibliografía